تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Elliptic Integral Singular Value
المؤلف:
Abel, N. H.
المصدر:
"Recherches sur les fonctions elliptiques." J. reine angew. Math. 3, 160-190, 1828. Reprinted in Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp
الجزء والصفحة:
...
25-4-2019
2676
+
-
20
Elliptic Integral Singular Value
When the elliptic modulus 
has a singular value, the complete elliptic integrals may be computed in analytic form in terms of gamma functions. Abel (quoted in Whittaker and Watson 1990, p. 525) proved that whenever
 |
(1) |
where 
, 
, 
, 
, and 
are integers, 
is a complete elliptic integral of the first kind, and 
is the complementary complete elliptic integral of the first kind, then the elliptic modulus 
is the root of an algebraic equation with integer coefficients.
A elliptic modulus 
such that
 |
(2) |
is called a singular value of the elliptic integral. The elliptic lambda function 
gives the value of 
.
Selberg and Chowla (1967) showed that 
and 
are expressible in terms of a finite number of gamma functions. The complete elliptic integrals of the second kind 
and 
can be expressed in terms of 
and 
with the aid of the elliptic alpha function 
.
Values of 
for small integer 
in terms of gamma functions 
are summarized below.
 |
 |
 |
(3) |
 |
 |
 |
(4) |
 |
 |
 |
(5) |
 |
 |
 |
(6) |
 |
 |
 |
(7) |
 |
 |
 |
(8) |
 |
 |
 |
(9) |
 |
 |
 |
(10) |
 |
 |
 |
(11) |
 |
 |
 |
(12) |
 |
 |
![[2+(17+3sqrt(33))^(1/3)-(3sqrt(33)-17)^(1/3)]^2(Gamma(1/(11))Gamma(3/(11))Gamma(4/(11))Gamma(5/(11))Gamma(9/(11)))/(11^(1/4)144pi^2)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline55.gif) |
(13) |
 |
 |
 |
(14) |
 |
 |
 |
(15) |
 |
 |
 |
(16) |
 |
 |
 |
(17) |
 |
 |
 |
(18) |
 |
 |
![C_1[(Gamma(1/(68))Gamma(3/(68))Gamma(7/(68))Gamma((11)/(68))Gamma((13)/(68)))/(Gamma(5/(68))Gamma((15)/(68))Gamma((19)/(68))Gamma((29)/(68)))]^(1/4)[Gamma((21)/(68))Gamma((25)/(68))Gamma((27)/(68))Gamma((31)/(68))Gamma((33)/(68))]^(1/4)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline73.gif) |
(19) |
 |
 |
 |
(20) |
where 
is the gamma function and 
is an algebraic number (Borwein and Borwein 1987, p. 298).
Borwein and Zucker (1992) give amazing expressions for singular values of complete elliptic integrals in terms of central beta functions
 |
(21) |
Furthermore, they show that 
is always expressible in terms of these functions for 
. In such cases, the 
functions appearing in the expression are of the form 
where 
and 
. The terms in the numerator depend on the sign of the Kronecker symbol {t/4n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline85.gif" style="height:15px; width:39px" />. Values for the first few
are
 |
 |
 |
(22) |
 |
 |
 |
(23) |
 |
 |
 |
(24) |
 |
 |
 |
(25) |
 |
 |
 |
(26) |
 |
 |
 |
(27) |
 |
 |
 |
(28) |
 |
 |
 |
(29) |
 |
 |
 |
(30) |
 |
 |
 |
(31) |
 |
 |
 |
(32) |
 |
 |
 |
(33) |
 |
 |
 |
(34) |
 |
 |
![2^(-3)13^(-5/8)(5sqrt(13)+18)^(1/4)[tan(1/(52)pi)tan(3/(52)pi)tan(9/(52)pi)]^(1/2)(beta(1/(52))beta(9/(52)))/(beta((23)/(52)))](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline128.gif) |
(35) |
 |
 |
![sqrt(sqrt(4sqrt(2)+2)+sqrt(2)+sqrt(2sqrt(2)-1))·2^(-13/4)7^(-3/8)×[(tan(5/(56)pi)tan((13)/(56)pi))/(tan((11)/(56)pi))]^(1/4)sqrt((beta(5/(56))beta((13)/(56))beta(1/8))/(beta((11)/(56))))](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline131.gif) |
(36) |
 |
 |
 |
(37) |
 |
 |
 |
(38) |
 |
 |
![C_2[(beta(1/(68))beta(3/(68))beta(7/(68))beta(9/(68))beta((11)/(68))beta((13)/(68)))/(beta(5/(68))beta((15)/(68)))]^(1/4),](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline140.gif) |
(39) |
where 
is the real root of
 |
(40) |
and 
is an algebraic number (Borwein and Zucker 1992). Note that 
is the only value in the above list which cannot be expressed in terms of central beta functions.
Using the elliptic alpha function, the elliptic integrals of the second kind can also be found from
 |
 |
![pi/(4sqrt(r)K)+[1-(alpha(r))/(sqrt(r))]K](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/EllipticIntegralSingularValue/Inline146.gif) |
(41) |
 |
 |
 |
(42) |
and by definition,
 |
(43) |
REFERENCES:
Abel, N. H. "Recherches sur les fonctions elliptiques." J. reine angew. Math. 3, 160-190, 1828. Reprinted in Abel, N. H. Oeuvres Completes (Ed. L. Sylow and S. Lie). New York: Johnson Reprint Corp., p. 377, 1988.
Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominator." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.
Bowman, F. Introduction to Elliptic Functions, with Applications. New York: Dover, pp. 75, 95, and 98, 1961.
Glasser, M. L. and Wood, V. E. "A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral." Math. Comput. 22, 535-536, 1971.
Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.
Wrigge, S. "An Elliptic Integral Identity." Math. Comput. 27, 837-840, 1973.
Zucker, I. J. "The Evaluation in Terms of 
-Functions of the Periods of Elliptic Curves Admitting Complex Multiplication." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82, 111-118, 1977.
Zucker, I. J. and Joyce, G. S. "Special Values of the Hypergeometric Series II." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 131, 309-319, 2001.
الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
مواضيع ذات صلة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
قسم الشؤون الفكرية يصدر مجموعة قصصية بعنوان (قلوب بلا مأوى)
