1

المرجع الالكتروني للمعلوماتية

الرياضيات

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : التفاضل و التكامل :

Spherical Harmonic

المؤلف:  Abbott, P

المصدر:  "2. Schrödinger Equation." Lecture Notes for Computational Physics 2. http://physics.uwa.edu.au/pub/Computational/CP2/2.Schroedinger.nb.

الجزء والصفحة:  ...

6-8-2019

3334

Spherical Harmonic

The spherical harmonics Y_l^m(theta,phi) are the angular portion of the solution to Laplace's equation in spherical coordinates where azimuthal symmetry is not present. Some care must be taken in identifying the notational convention being used. In this entry, theta is taken as the polar (colatitudinal) coordinate with theta in [0,pi], and phi as the azimuthal (longitudinal) coordinate with phi in [0,2pi). This is the convention normally used in physics, as described by Arfken (1985) and the Wolfram Language (in mathematical literature, theta usually denotes the longitudinal coordinate and phi the colatitudinal coordinate). Spherical harmonics are implemented in the Wolfram Language as SphericalHarmonicY[l, m, theta, phi].

Spherical harmonics satisfy the spherical harmonic differential equation, which is given by the angular part of Laplace's equation in spherical coordinates. Writing F=Phi(phi)Theta(theta) in this equation gives

(Phi(phi))/(sintheta)d/(dtheta)(sintheta(dTheta)/(dtheta))+(Theta(theta))/(sin^2theta)(d^2Phi(phi))/(dphi^2)+l(l+1)Theta(theta)Phi(phi)=0.
(1)

Multiplying by sin^2theta/(ThetaPhi) gives

[(sintheta)/(Theta(theta))d/(dtheta)(sintheta(dTheta)/(dtheta))+l(l+1)sin^2theta]+1/(Phi(phi))(d^2Phi(phi))/(dphi^2)=0.
(2)

Using separation of variables by equating the phi-dependent portion to a constant gives

1/(Phi(phi))(d^2Phi(phi))/(dphi^2)=-m^2,
(3)

which has solutions

Phi(phi)=Ae^(-imphi)+Be^(imphi).
(4)

Plugging in (3) into (2) gives the equation for the theta-dependent portion, whose solution is

Theta(theta)=P_l^m(costheta),
(5)

where m=-l, -(l-1), ..., 0, ..., l-1, l and P_l^m(z) is an associated Legendre polynomial. The spherical harmonics are then defined by combining Phi(phi) and Theta(theta),

Y_l^m(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)e^(imphi),
(6)

where the normalization is chosen such that

(7)

(Arfken 1985, p. 681). Here, z^_ denotes the complex conjugate and delta_(mn) is the Kronecker delta. Sometimes (e.g., Arfken 1985), the Condon-Shortley phase (-1)^m is prepended to the definition of the spherical harmonics.

The spherical harmonics are sometimes separated into their real and imaginary parts,

Y_l^m^s(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)sin(mphi)
(8)
Y_l^m^c(theta,phi)=sqrt((2l+1)/(4pi)((l-m)!)/((l+m)!))P_l^m(costheta)cos(mphi).
(9)

The spherical harmonics obey

Y_l^(-l)(theta,phi) = 1/(2^ll!)sqrt(((2l+1)!)/(4pi))sin^lthetae^(-ilphi)
(10)
Y_l^0(theta,phi) = sqrt((2l+1)/(4pi))P_l(costheta)
(11)
Y_l^(-m)(theta,phi) = (-1)^mY^__l^m(theta,phi),
(12)

where P_l(x) is a Legendre polynomial.

Integrals of the spherical harmonics are given by

(13)

where (l_1 l_2 l_3; m_1 m_2 m_3) is a Wigner 3j-symbol (which is related to the Clebsch-Gordan coefficients). Special cases include

int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_0^0(theta,phi)Y^__L^M(theta,phi)sinthetadthetadphi = 1/(sqrt(4pi))
(14)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^0(theta,phi)Y^__(L+1)^M(theta,phi)sinthetadthetadphi = sqrt(3/(4pi))sqrt(((L+M+1)(L-M+1))/((2L+1)(2L+3)))
(15)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^1(theta,phi)Y^__(L+1)^(M+1)(theta,phi)sinthetadthetadphi = sqrt(3/(8pi))sqrt(((L+M+1)(L+M+2))/((2L+1)(2L+3)))
(16)
int_0^(2pi)int_0^piY_L^M(theta,phi)Y_1^1(theta,phi)Y^__(L-1)^(M+1)(theta,phi)sinthetadthetadphi = -sqrt(3/(8pi))sqrt(((L-M)(L-M-1))/((2L-1)(2L+1)))
(17)

(Arfken 1985, p. 700).

SphericalHarmonicsSphericalHarmonicsReIm

The above illustrations show |Y_l^m(theta,phi)|^2 (top), R[Y_l^m(theta,phi)]^2 (bottom left), and I[Y_l^m(theta,phi)]^2 (bottom right). The first few spherical harmonics are

Y_0^0(theta,phi) = 1/21/(sqrt(pi))
(18)
Y_1^(-1)(theta,phi) = 1/2sqrt(3/(2pi))sinthetae^(-iphi)
(19)
Y_1^0(theta,phi) = 1/2sqrt(3/pi)costheta
(20)
Y_1^1(theta,phi) = -1/2sqrt(3/(2pi))sinthetae^(iphi)
(21)
Y_2^(-2)(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))sin^2thetae^(-2iphi)
(22)
Y_2^(-1)(theta,phi) = 1/2sqrt((15)/(2pi))sinthetacosthetae^(-iphi)
(23)
Y_2^0(theta,phi) = 1/4sqrt(5/pi)(3cos^2theta-1)
(24)
Y_2^1(theta,phi) = -1/2sqrt((15)/(2pi))sinthetacosthetae^(iphi)
(25)
Y_2^2(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))sin^2thetae^(2iphi)
(26)
Y_3^(-3)(theta,phi) = 1/8sqrt((35)/pi)sin^3thetae^(-3iphi)
(27)
Y_3^(-2)(theta,phi) = 1/4sqrt((105)/(2pi))sin^2thetacosthetae^(-2iphi)
(28)
Y_3^(-1)(theta,phi) = 1/8sqrt((21)/pi)sintheta(5cos^2theta-1)e^(-iphi)
(29)
Y_3^0(theta,phi) = 1/4sqrt(7/pi)(5cos^3theta-3costheta)
(30)
Y_3^1(theta,phi) = -1/8sqrt((21)/pi)sintheta(5cos^2theta-1)e^(iphi)
(31)
Y_3^2(theta,phi) = 1/4sqrt((105)/(2pi))sin^2thetacosthetae^(2iphi)
(32)
Y_3^3(theta,phi) = -1/8sqrt((35)/pi)sin^3thetae^(3iphi).
(33)

Written in terms of Cartesian coordinates,

e^(iphi) = (x+iy)/(sqrt(x^2+y^2))
(34)
theta = sin^(-1)(sqrt((x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)))
(35)
= cos^(-1)(z/(sqrt(x^2+y^2+z^2))),
(36)

so

Y_0^0(theta,phi) = 1/21/(sqrt(pi))
(37)
Y_1^0(theta,phi) = 1/2sqrt(3/pi)z/(sqrt(x^2+y^2+z^2))
(38)
Y_1^1(theta,phi) = -1/2sqrt(3/(2pi))(x+iy)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))
(39)
Y_2^0(theta,phi) = 1/4sqrt(5/pi)((3z^2)/(x^2+y^2+z^2)-1)
(40)
Y_2^1(theta,phi) = -1/2sqrt((15)/(2pi))(z(x+iy))/(x^2+y^2+z^2)
(41)
Y_2^2(theta,phi) = 1/4sqrt((15)/(2pi))((x+iy)^2)/(x^2+y^2+z^2).
(42)

The zonal harmonics are defined to be those of the form

P_l^0(costheta)=P_l(costheta).
(43)

The tesseral harmonics are those of the form

sin(mphi)P_l^m(costheta)
(44)
cos(mphi)P_l^m(costheta)
(45)

for l!=m. The sectorial harmonics are of the form

sin(mphi)P_m^m(costheta)
(46)
cos(mphi)P_m^m(costheta).
(47)

EN

تصفح الموقع بالشكل العمودي