يعالج التحليل المسائل التي قد تم تجنبهـا أثناء تطوير الحسبان، وقد جعلت الاتجاهات الحديثة، التي تبتعد عن البرهان الشكلي في المدارس، الطلاب الذين يبتدأون تعليمهم العالي غير واعين بوجود مشكلات تتطلب الإهتمام، وفي الحقيقة فإن بعـض تـاركي المدرسة لم يتعرفوا على أي شئ مـن أفكـار البرهان وهم لا يسلموا بالضرورة بأنها جزء حيوي في الرياضيات.. وقد كتب هذا المقال على أساس الاعتراف بحقيقة أن معظم الطلاب في الوقت الراهن هم من ذوي هذه الخلفية. إن الهدف الرئيسي لهذا المقال هو تقديم جوهر وصميـم محتـوى التحليـل بطريقة متطورة تبدو جميلة وطبيعية للقارئ..
بالرغم من أن الرياضيات ينظر إليهـا عادة كعلـم فإنها تختلف عن أكثر العلوم في نقطة مهمة وهي أنها لم تؤسس على نتائج خبروية يمكن أن تتغير بتحسن القرائن. وهكذا فإن الفيزياء، على سبيل المثال، قد أقيمت على تنبؤ نتائج مختلفة للقوانين الأساسية للموضوع ولكـن مـا أن هـذه القوانين كانت قد اشتقت من التجربة والملاحظة فإنها قد تتعرض لأعادة النظر فيها من وقت إلى آخر إذا تعارضت تنبؤاتها مع ما يحدث في العالم الواقعي.. ومن ناحية أخرى فإن الرياضيات لـم تؤسس على التجربة وإنما هي أكثر إبداع تجريداً تبقى نتائجه صحيحة ولا تتعرض لإعادة نظر لاحقا.. من هنا فإن نتيجة رياضية ما، بمجرد تأسيسها، يسلم بصحتها دائماً دون أي تحفظات.

من ناحية جوهرية فإن الرياضيات تتعلق بالأعداد، التي هي تجريدات أصلاً فما هو مشترك بين نعجتين وتفاحتين، أي الاثنينيـة، إنما هو تجريد. وبمجرد قبولنا لفكرة العدد يتوجب علينا تحديد خصائص المنطوقة التي خلقناهـا، أي استنباطها في الأفكار الأساسية، وحيثما نكتشفها فإن هذه الخصائص تبقى صحيحة دائماً وغير معرضة لإعادة النظر الدورية التي تطال القوانين العلمية (مع ذلـك، بـالـرغـم مـن أن الرياضيـات تبقـى ثابتـة فـمـن المكـن تخـيـل أن المراجعات في قوانين العلوم قد تحذف فائدتها فنياً).
وما قيل ان الرياضيات هي تركيب وتكوين صناعي - صنع الانسان- التي نتائجها مستدلة من بعض الخصائص الأساسية دعنا نعتبر اسلوب الطرق المستخدمة لنثبت افكارنا هنا . لو اخذنا (فرضاً)بعض المسائل الخاصة .
يتسائل البعض مالذي يحدث هنا الطرق التي استخدمت لحل هذه المسائل يمكن ان تعطينا اعداد زائفة او كاذبة تماما لهذا يبدو اننا بحاجه الى التحقق من الاجابات وهنا تكمن الحاجة الى البرهان.