ENGLISH

بحث في العناوين     بحث في المحتوى     بحث في اسماء الكتب     بحث في اسماء المؤلفين

القرأن الكريم وعلومه
العقائد الأسلامية
الفقه الأسلامي
علم الرجال
السيرة النبوية
الاخلاق والادعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الأدارة والاقتصاد
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الزراعة
الجغرافية
القانون
الإعلام

رمز الامان : 9296

الرياضيات

عدد المواضيع في هذا القسم 8675
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Devil,s Staircase

04:16 PM

16 / 9 / 2021

52

Author : Adams, W. W.

Book or Source : "A Remarkable Class of Continued Fractions." Proc. Amer. Math. Soc. 65

page : ...

+
-

Devil's Staircase

DevilsStaircase

A plot of the map winding number W resulting from mode locking as a function of Omega for the circle map

 theta_(n+1)=theta_n+Omega-K/(2pi)sin(2pitheta_n)

(1)

with K=1. (Since the circle map becomes mode-locked, the map winding number is independent of the initial starting argument theta_0.) At each value of Omega, the map winding number is some rational number. The result is a monotonic increasing "staircase" for which the simplest rational numbers have the largest steps. The Devil's staircase continuously maps the interval [0,1] onto [0,1], but is constant almost everywhere (i.e., except on a Cantor set).

For K=1, the measure of quasiperiodic states (Omega irrational) on the Omega-axis has become zero, and the measure of mode-locked state has become 1. The dimension of the Devil's staircase  approx 0.8700+/-3.7×10^(-4).

DevilsStaircaseFloor

Another type of devil's staircase occurs for the sum

 f(x)=sum_(n=1)^infty(|_nx_|)/(2^n)

(2)

for x in [0,1], where |_x_| is the floor function (Böhmer 1926ab; Kuipers and Niederreiter 1974, p. 10; Danilov 1974; Adams 1977; Davison 1977; Bowman 1988; Borwein and Borwein 1993; Bowman 1995; Bailey and Crandall 2001; Bailey and Crandall 2003). This function is monotone increasing and continuous at every irrational x but discontinuous at every rational xf(x) is irrational iff x is, and if x is irrational, then f(x) is transcendental. If x=p/q is rational, then

 f(x)=1/(2^q-1)+sum_(m=1)^infty1/(2^(|_m/x_|)),

(3)

while if x is irrational,

 f(x)=sum_(m=1)^infty1/(2^(|_m/x_|)).

(4)

Even more amazingly, for irrational x with simple continued fraction [0,a_1,a_2,...] and convergents p_n/q_n,

 f(x)=[0,A_1,A_2,A_3,...],

(5)

where

 A_n=2^(q_(n-2))(2^(a_nq_(n-1))-1)/(2^(q_(n-1))-1)

(6)

(Bailey and Crandall 2001). This gives the beautiful relation to the Rabbit constant

 f(phi^(-1))=[0,2^(F_0),2^(F_1),2^(F_2),...],

(7)

where phi is the golden ratio and F_n is a Fibonacci number.


REFERENCES:

Adams, W. W. "A Remarkable Class of Continued Fractions." Proc. Amer. Math. Soc. 65, 194-198, 1977.

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Exper. Math. 10, 175-190, 2001.

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "Random Generators and Normal Numbers." Exper. Math. 11, 527-546, 2002.

Böhmer, P. E. "Über die Transcendenz gewisser dyadischer Brüche." Math. Ann. 96, 367-377, 1926a.

Böhmer, P. E. Erratum to "Über die Transcendenz gewisser dyadischer Brüche." Math. Ann. 96, 735, 1926b.

Borwein, J. and Borwein, P. "On the Generating Function of the Integer Part of |_nalpha+gamma_|." J. Number Th. 43, 293-318, 1993.

Bowman, D. "A New Generalization of Davison's Theorem." Fib. Quart. 26, 40-45, 1988.

Bowman, D. "Approximation of |_nalpha+s_| and the Zero of <span style='font-family: rasol;'> { </span>nalpha+s<span style='font-family: rasol;'> } </span>." J. Number Th. 50, 128-144, 1995.

Danilov, L. V. "Some Classes of Transcendental Numbers." Math. Notes Acad. Sci. USSR 12, 524-527, 1974.

Davison, J. L. "A Series and Its Associated Continued Fraction." Proc. Amer. Math. Soc. 63, 29-32, 1977.

Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Redwood City, CA: Addison-Wesley, pp. 109-110, 1987.

Kuipers, L. and Niederreiter, H. Uniform Distribution of Sequences. New York: Wiley, 1974.

Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, pp. 82-83 and 286-287, 1983.

Ott, E. Chaos in Dynamical Systems. New York: Cambridge University Press, 1993.

Rasband, S. N. "The Circle Map and the Devil's Staircase." §6.5 in Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems. New York: Wiley, pp. 128-132, 1990.

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. العِلمُ عِلمانِ: مطبوعٌ ومَسموعٌ، ولا ينفَعُ المسموعُ إذا لم يكُنِ المطبوعُ

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. (الصَّدقةُ دواءٌ مُنجِحٌ، وأعمالُ العبادِ في عاجِلِهم نُصبُ أعيُنِهِم في آجلِهِم)

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..(صِحَّةُ الجَسدِ مِن قلّةِ الحَسَدِ)

التعددية الدينية (Pluralism) من الأسباب والعوامل إلى الأدلة والنقود ..(قراءة في سيرورتها من المسيحية إلى الإسلام)

عاشوراءُ.. دروسٌ وعِبَر (6)

فيلسوف العرب .. أول من حمل لواء الفلسفة في الإسلام

عاشوراء.. دروسٌ وعِبَر (5)

الإمامُ زينُ العابدينَ عليهِ السَّلامُ في مجلسِ يزيد

عاشُوراء.. دروسٌ وعِبَر (4)

الجنة والنار.. أين مكانهما؟

أيهما أفضل الشكر على النعمة أم الصبر على البلاء؟

ما الفرق بين التقاليد والموروثات؟

النبي -صلوات الله عليه- كان يختار الأسماء لأبناء فاطمة وأبناء صحابته...

بماذا أوصت السيدة الزهراء زوجها أمير المؤمنين قبيل وفاتها؟

أمر الله أحق بالاتّباع من الأهواء

العقيدة والفداء سلاح الحسين وأصحابه في واقعة الطف

الله سبحانه يفي بالوعد ولا يلتزم بالوعيد تحنّناً منه ورحمة

النهضة الحسينية أرجعت للأمة ثقتها بنفسها

ضرورةُ السعيِّ في تزويجِ الشّبابِ

دورُ الأُبوَّةِ في الحَياة

ماذا تفعلُ إذا كسرَ طفلُكَ لُعبَتَهُ أو أضاعَها؟

ما هِيَ أولَويّاتُ التعلُّمِ بالنِسبَةِ للمرأةِ؟

خمسةُ ألوانٍ في بيتِكَ تُشعِرُكَ بالسَّعادَةِ

كيفَ نُنشِئُ أسرَةً صالحةً؟

سَبعَةُ نشاطاتٍ لتخفيفِ التَّنَمُّرِ الأُسريّ

سَبعُ عِباراتٍ تحفيزيّةٍ لبعضِ المشاهِير

دورُ أهلِ البَيتِ (عَليهِمُ السَّلامُ) في المُحافَظةِ على البِناءِ الأُسَريِّ

تويوتا تعلن عن سيارة عائلية أنيقة قريبا

كيا تطلق نسخا جديدة معدلة من Cerato الشهيرة

مايكروسوفت تحبط أحد أكبر الهجمات الإلكترونية في تاريخها!

مهندسون أمريكيون يبتكرون روبوتا طائرا بساقين

عالم الفضاء المصري فاروق الباز يكشف علاقة زلزال كريت 2021 بزلزال القاهرة 1992

دراسة: شبه الجزيرة العربية كانت حجر الزاوية في الهجرات البشرية المبكرة من إفريقيا!

ظاهرة الكريستال الإلكتروني تصوّر مباشرة لأول مرة على الإطلاق

ماذا يحدث عندما يأخذ الطفل أنفاسه الأولى؟

استعدادا للإطلاق.. تلسكوب جيمس ويب القادر على كشف بعض أعظم أسرار الكون يصل غويانا الفرنسية!

مواد كيميائية شائعة في الشامبو ومستحضرات التجميل مرتبطة بالموت المبكر

دراسة: فيتامين يزيد بشكل كبيرمن خطر الإصابة بالسرطان لدى الرجال

تقارير: تفشي السل في كندا مع اكتشاف نوعين جديدين من العدوى القاتلة!

تحذير صحي.. خضار شعبية يمكن أن تكون "سامة" عند تناولها بطريقة خاطئة!

العلماء يكتشفون جسما مضادا قويا للغاية ضد SARS-CoV-2

دراسة تقدم طريقة للاستحمام قد تساعد على حرق الدهون وتكييف الجسم مع درجات الحرارة

طبيب مناعة روسي: سنحتاج لقاحا جديدا في حال انخفاض فاعلية اللقاحات الموجودة إلى 50%

9 معلومات مهمة تحتاج لمعرفتها حول حبوب مولنوبيرافير الجديدة المضادة لـ"كوفيد-19"

العلماء يعيدون النظر في تعليمات حول الشمس وفيتامين D

انعقادُ مجلس العزاء النسويّ لإحياء ذكرى شهادة الإمام العسكريّ (عليه السلام)

خدمةً لزائري العسكريَّيْن: نشر محطّاتٍ لتعليم القراءة الصحيحة للقرآن الكريم

قسم مضيف العتبة العلوية المقدسة يقدم آلاف الوجبات لضيافة الوافدين الى سامراء لإحياء شهادة الإمام الحسن العسكري (عليه السلام)

وفد العتبة العلوية يصل سامراء وينشر كوادره لتقديم الدعم اللوجستي والأمني والخدمي لزائري الإمام العسكري ( عليه السلام) في ذكرى شهادته

اكثر من نصف مليار.. مكتب ممثلية المرجعية في كربلاء يكشف عن حجم الانفاق خلال محرم وصفر كمساعدات للعوائل المتعففة والايتام وشراء الادوية

بالفيديو: اسطول خدمي ينطلق من جوار مرقد الامام الحسين الى مرقد العسكريين (ع) في سامراء لخدمة الزائرين

الأمانة العامة للعتبة الكاظمية المقدسة تحيي أربعينية فقيه أهل البيت المرجع الديني الكبير سماحة السيد محمد سعيد الحكيم "طاب ثراه"

كلمة الأمين العام للعتبة الكاظمية المقدسة إ.د. حيدر حسن الشمري لمناسبة أربعينية المرجع الكبير سماحة آية الله العظمى السيد محمد سعيد الحكيم (قدس سره)

مواكب العتبات المقدسة وديوان الوقف الشيعي والمزارات الشيعية مشاركة واسعة في زيارة الامام العسكري (عليه...