ENGLISH

بحث في العناوين     بحث في المحتوى     بحث في اسماء الكتب     بحث في اسماء المؤلفين

القرأن الكريم وعلومه
العقائد الأسلامية
الفقه الأسلامي
علم الرجال
السيرة النبوية
الاخلاق والادعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الأدارة والاقتصاد
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الزراعة
الجغرافية
القانون
الإعلام

رمز الامان : 2151

الرياضيات

عدد المواضيع في هذا القسم 8675
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Delannoy Number

04:18 PM

16 / 9 / 2021

69

Author : Banderier, C. and Schwer, S

Book or Source : "Why Delannoy Numbers?" To appear in J. Stat. Planning Inference. http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy2004.ps.

page : ...

+
-

Delannoy Number

The Delannoy numbers D(a,b) are the number of lattice paths from (0,0) to (b,a) in which only east (1, 0), north (0, 1), and northeast (1, 1) steps are allowed (i.e., ->^, and ->). They are given by the recurrence relation

 D(a,b)=D(a-1,b)+D(a,b-1)+D(a-1,b-1),

(1)

with D(0,0)=1. The are also given by the sums

D(n,k) = sum_(d=0)^(n)(k; d)(n+k-d; k)

(2)

= sum_(d=0)^(n)2^d(k; d)(n; d)

(3)

= (n+k; k)_2F_1(-n,-k;-(k+n);-1),

(4)

where _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function.

A table for values for the Delannoy numbers is given by

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...; 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ...; 1 5 13 25 41 61 85 113 145 ...; 1 7 25 63 129 231 377 575 833 ...; 1 9 41 129 321 681 1289 2241 3649 ...; 1 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073 ...

(5)

(OEIS A008288) for m=0, 1, ... increasing from left to right and n=0, 1, ... increasing from top to bottom.

They have the generating function

 sum_(p,q=1)^inftyD(p,q)x^py^q=(1-x-y-xy)^(-1)

(6)

(Comtet 1974, p. 81).

DelannoyNumber

Taking n=a=b gives the central Delannoy numbers D(n,n), which are the number of "king walks" from the (0,0) corner of an n×n square to the upper right corner (n,n). These are given by

 D(n,n)=P_n(3),

(7)

where P_n(x) is a Legendre polynomial (Moser 1955; Comtet 1974, p. 81; Vardi 1991). Another expression is

D(n) = D(n,n)

(8)

= sum_(k=0)^(n)(n; k)(n+k; k)

(9)

= _2F_1(-n,n+1;1,-1),

(10)

where (a; b) is a binomial coefficient and _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function. These numbers have a surprising connection with the Cantor set (E. W. Weisstein, Apr. 9, 2006).

They also satisfy the recurrence equation

 D(n)=(3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2))/n.

(11)

They have generating function

G(x) = 1/(sqrt(1-6x+x^2))

(12)

= 1+3x+13x^2+63x^3+321x^4+....

(13)

The values of D(n) for n=1, 2, ... are 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ... (OEIS A001850). The numbers of decimal digits in D(10^n,10^n) for n=0, 1, ... are 1, 7, 76, 764, 7654, 76553, 765549, 7655510, ... (OEIS A114470), where the digits approach those of log_(10)(3+2sqrt(2))=0.765551... (OEIS A114491).

The first few prime Delannoy numbers are 3, 13, 265729, ... (OEIS A092830), corresponding to indices 1, 2, 8, ..., with no others for n<1.1×10^5 (Weisstein, Mar. 8, 2004).

The Schröder numbers bear the same relation to the Delannoy numbers as the Catalan numbers do to the binomial coefficients.

Amazingly, taking the Cholesky decomposition of the square array of D(a,b), transposing, and multiplying it by the diagonal matrix diag(2^(-0/2),2^(-1/2),2^(-2/2),...) gives the square matrix (i.e., lower triangular) version of Pascal's triangle (G. Helms, pers. comm., Aug. 29, 2005).

DelannoyNumberArrays

Beautiful fractal patterns can be obtained by plotting D(a,b) (mod m) (E. Pegg, Jr., pers. comm., Aug. 29, 2005). In particular, the m=3 case corresponds to a pattern resembling the Sierpiński carpet.


REFERENCES:

Banderier, C. and Schwer, S. "Why Delannoy Numbers?" To appear in J. Stat. Planning Inference. http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy2004.ps.

Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 80-81, 1974.

Dickau, R. M. "Delannoy and Motzkin Numbers." http://www.prairienet.org/~pops/delannoy.html.

Goodman, E. and Narayana, T. V. "Lattice Paths with Diagonal Steps." Canad. Math. Bull. 12, 847-855, 1969.

Moser, L. "King Paths on a Chessboard." Math. Gaz. 39, 54, 1955.

Moser, L. and Zayachkowski, H. S. "Lattice Paths with Diagonal Steps." Scripta Math. 26, 223-229, 1963.

Sloane, N. J. A. Sequences A001850/M2942, A008288 , A092830, A114470, and A114491 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Stocks, D. R. Jr. "Lattice Paths in E^3 with Diagonal Steps." Canad. Math. Bull. 10, 653-658, 1967.

Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1991.

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. العِلمُ عِلمانِ: مطبوعٌ ومَسموعٌ، ولا ينفَعُ المسموعُ إذا لم يكُنِ المطبوعُ

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. (الصَّدقةُ دواءٌ مُنجِحٌ، وأعمالُ العبادِ في عاجِلِهم نُصبُ أعيُنِهِم في آجلِهِم)

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..(صِحَّةُ الجَسدِ مِن قلّةِ الحَسَدِ)

التعددية الدينية (Pluralism) من الأسباب والعوامل إلى الأدلة والنقود ..(قراءة في سيرورتها من المسيحية إلى الإسلام)

عاشوراءُ.. دروسٌ وعِبَر (6)

فيلسوف العرب .. أول من حمل لواء الفلسفة في الإسلام

عاشوراء.. دروسٌ وعِبَر (5)

الإمامُ زينُ العابدينَ عليهِ السَّلامُ في مجلسِ يزيد

عاشُوراء.. دروسٌ وعِبَر (4)

الجنة والنار.. أين مكانهما؟

أيهما أفضل الشكر على النعمة أم الصبر على البلاء؟

ما الفرق بين التقاليد والموروثات؟

النبي -صلوات الله عليه- كان يختار الأسماء لأبناء فاطمة وأبناء صحابته...

بماذا أوصت السيدة الزهراء زوجها أمير المؤمنين قبيل وفاتها؟

أمر الله أحق بالاتّباع من الأهواء

العقيدة والفداء سلاح الحسين وأصحابه في واقعة الطف

الله سبحانه يفي بالوعد ولا يلتزم بالوعيد تحنّناً منه ورحمة

النهضة الحسينية أرجعت للأمة ثقتها بنفسها

ضرورةُ السعيِّ في تزويجِ الشّبابِ

دورُ الأُبوَّةِ في الحَياة

ماذا تفعلُ إذا كسرَ طفلُكَ لُعبَتَهُ أو أضاعَها؟

ما هِيَ أولَويّاتُ التعلُّمِ بالنِسبَةِ للمرأةِ؟

خمسةُ ألوانٍ في بيتِكَ تُشعِرُكَ بالسَّعادَةِ

كيفَ نُنشِئُ أسرَةً صالحةً؟

سَبعَةُ نشاطاتٍ لتخفيفِ التَّنَمُّرِ الأُسريّ

سَبعُ عِباراتٍ تحفيزيّةٍ لبعضِ المشاهِير

دورُ أهلِ البَيتِ (عَليهِمُ السَّلامُ) في المُحافَظةِ على البِناءِ الأُسَريِّ

تويوتا تعلن عن سيارة عائلية أنيقة قريبا

كيا تطلق نسخا جديدة معدلة من Cerato الشهيرة

مايكروسوفت تحبط أحد أكبر الهجمات الإلكترونية في تاريخها!

مهندسون أمريكيون يبتكرون روبوتا طائرا بساقين

عالم الفضاء المصري فاروق الباز يكشف علاقة زلزال كريت 2021 بزلزال القاهرة 1992

دراسة: شبه الجزيرة العربية كانت حجر الزاوية في الهجرات البشرية المبكرة من إفريقيا!

ظاهرة الكريستال الإلكتروني تصوّر مباشرة لأول مرة على الإطلاق

ماذا يحدث عندما يأخذ الطفل أنفاسه الأولى؟

استعدادا للإطلاق.. تلسكوب جيمس ويب القادر على كشف بعض أعظم أسرار الكون يصل غويانا الفرنسية!

مواد كيميائية شائعة في الشامبو ومستحضرات التجميل مرتبطة بالموت المبكر

دراسة: فيتامين يزيد بشكل كبيرمن خطر الإصابة بالسرطان لدى الرجال

تقارير: تفشي السل في كندا مع اكتشاف نوعين جديدين من العدوى القاتلة!

تحذير صحي.. خضار شعبية يمكن أن تكون "سامة" عند تناولها بطريقة خاطئة!

العلماء يكتشفون جسما مضادا قويا للغاية ضد SARS-CoV-2

دراسة تقدم طريقة للاستحمام قد تساعد على حرق الدهون وتكييف الجسم مع درجات الحرارة

طبيب مناعة روسي: سنحتاج لقاحا جديدا في حال انخفاض فاعلية اللقاحات الموجودة إلى 50%

9 معلومات مهمة تحتاج لمعرفتها حول حبوب مولنوبيرافير الجديدة المضادة لـ"كوفيد-19"

العلماء يعيدون النظر في تعليمات حول الشمس وفيتامين D

انعقادُ مجلس العزاء النسويّ لإحياء ذكرى شهادة الإمام العسكريّ (عليه السلام)

خدمةً لزائري العسكريَّيْن: نشر محطّاتٍ لتعليم القراءة الصحيحة للقرآن الكريم

قسم مضيف العتبة العلوية المقدسة يقدم آلاف الوجبات لضيافة الوافدين الى سامراء لإحياء شهادة الإمام الحسن العسكري (عليه السلام)

وفد العتبة العلوية يصل سامراء وينشر كوادره لتقديم الدعم اللوجستي والأمني والخدمي لزائري الإمام العسكري ( عليه السلام) في ذكرى شهادته

اكثر من نصف مليار.. مكتب ممثلية المرجعية في كربلاء يكشف عن حجم الانفاق خلال محرم وصفر كمساعدات للعوائل المتعففة والايتام وشراء الادوية

بالفيديو: اسطول خدمي ينطلق من جوار مرقد الامام الحسين الى مرقد العسكريين (ع) في سامراء لخدمة الزائرين

الأمانة العامة للعتبة الكاظمية المقدسة تحيي أربعينية فقيه أهل البيت المرجع الديني الكبير سماحة السيد محمد سعيد الحكيم "طاب ثراه"

كلمة الأمين العام للعتبة الكاظمية المقدسة إ.د. حيدر حسن الشمري لمناسبة أربعينية المرجع الكبير سماحة آية الله العظمى السيد محمد سعيد الحكيم (قدس سره)

مواكب العتبات المقدسة وديوان الوقف الشيعي والمزارات الشيعية مشاركة واسعة في زيارة الامام العسكري (عليه...