Integral Embedding

An integral embedding of a graph, not to be confused with an integral graph, is a graph drawn such that vertices are distinct points and all graph edges have integer lengths. Every graph possesses an integral embedding (Müller 1953, Harborth and Möller 1994).

It is conjectured that every planar graph has a plane integral embedding.

A unit-distance graph is a graph that not only possesses an integral embedding, but an embedding in which all edges have the same length (which can be taken as 1 without loss of generality). Unit-distance embeddings are therefore minimal integral embeddings since they have the smallest possible (1) largest edge length.

The following table summarizes the minimum diameters for integral and plane integral embeddings of the Platonic graphs (Müller 1953, Harborth et al. 1987, Harborth and Möller 1994), where  refers to the "diameter" given by the largest integer in the set of lengths of an integral embedding (not the graph diameter).

graph		plane
cubical graph	1	2
dodecahedral graph	1	2
icosahedral graph	8	159
octahedral graph	7	13
tetrahedral graph	4	17

The minimal integral embeddings of the Platonic graphs are illustrated above (Harborth and Möller 1994).

The minimal planar integral embeddings of the Platonic graphs are illustrated above (Harborth et al. 1987).

---

REFERENCES

Harborth, H.; Kemnitz, A.; Möller, M.; and Süssenbach, A. "Ganzzahlige planare Darstellungen der platonischen Körper." Elem. Math. 42, 118-122, 1987.

Harborth, H. and Möller, M. "Minimum Integral Drawings of the Platonic Graphs." Math. Mag. 67, 355-358, 1994.

Hartsfield, N. and Ringel, G. Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction. San Diego, CA: Academic Press, p. 173, 1990.

Müller, A. "Auf einem Kreis liegende Punktmengen ganzzahliger Entfernungen." Elem. Math. 8, 37-38, 1953.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

وفد العتبة العباسية المقدسة يجري جولة في أروقة معرض بغداد الدولي للكتاب

شعبة التوجيه الديني النسوي تطلق برنامجًا قرآنيًّا لزائرات مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

جامعة الكفيل تطلق دورة تدريبية عن تقييم الأداء الجامعي لعدد من ملاكاتها

المجمع العلمي يقيم محفلًا قرآنيًا بذكرى ولادة الصادقين (صلوات الله عليهما)

المزيد

الآخبار الصحية

هل يتنبأ الذكاء الاصطناعي بأمراضنا قبل حدوثها؟

وداعا للنظارات.. قطرة عين واحدة قد تغير كل شيء ؟

دراسة تكشف تأثير "تيك توك" وتطبيقات الفيديو على سلوك الأطفال

"أسرار خفية" في الشاي الأخضر.. تغير قواعد الصحة والوزن

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أول قطار يعمل بالهيدروجين في أميركا يدخل الخدمة رسميًا

أجهزة أبل القادمة.. "حصن منيع" في عصر الهجمات الرقمية !

روسيا: تطلق قمرين اصطناعيين بواسطة الصاروخ سويوز 2.1

ميزة ثورية.. أبل تدخل عالم قياس ضغط الدم

المزيد

مواضيع ذات صلة

Minimum Spanning Tree

Maximum Leaf Number

Lobster Graph

Labeled Tree

Internal Path Length

Red-Black Tree

Pseudotree

Pseudoforest

Prüfer Code

Planted Tree

Planted Planar Tree

Graph Strength