Ball triangle picking is the selection of triples of points (corresponding to vertices of a general triangle) randomly placed inside a ball.  random triangles can be picked in a unit ball in the Wolfram Language using the function RandomPoint[Ball[], {" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline2.gif" style="height:15px; width:5px" />n, 3}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline3.gif" style="height:15px; width:5px" />].

The distribution of areas of a triangle with vertices picked at random in a unit ball is illustrated above. The mean triangle area is

(1)

(Buchta and Müller 1984, Finch 2010).

 random triangles can be picked in a unit ball in the Wolfram Language using the function RandomPoint[Ball[], {" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline5.gif" style="height:15px; width:5px" />n, 3}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline6.gif" style="height:15px; width:5px" />].

The determination of the probability for obtaining an acute triangle by picking three points at random in the unit disk was generalized by Hall (1982) to the -dimensional ball. Buchta (1986) subsequently gave closed form evaluations for Hall's integrals. Let  be the probability that three points chosen independently and uniformly from the -ball form an acute triangle, then

	(2)
	(3)

These can be combined and written in the slightly messy closed form

{2^(2n-5)(n-1)[Gamma(1/2n)]^4[n_3F^~_2(1,n+1,1/2n+1;1/2(n+3),3/2n+1;1)-2_3F^~_2(1,n,1/2n+1;3/2n,1/2(n+3);1)] -(sqrt(pi)Gamma(2n))/(4^nGamma(3/2n)Gamma(1/2(n+1)))+1}, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/NumberedEquation2.gif" style="height:109px; width:493px" />

(4)

where  is a regularized hypergeometric function.

The first few are

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(OEIS A093756 and A093757, OEIS A093758 and A093759, and OEIS A093760 and A093761), plotted above.

The case  corresponds to disk triangle picking.

REFERENCES:

Buchta, C. "A Note on the Volume of a Random Polytope in a Tetrahedron." Ill. J. Math. 30, 653-659, 1986.

Buchta, C. and Müller, J. "Random Polytopes in a Ball." J. Appl. Prob. 21, 753-762, 1984.

Finch, S. "Random Triangles III." http://algo.inria.fr/csolve/rtg3.pdf. Apr. 30, 2010.

Hall, G. R. "Acute Triangles in the -Ball." J. Appl. Prob. 19, 712-715, 1982.

Sloane, N. J. A. Sequences A093756, A093757, A093758, A093759, A093760, and A093761 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد