Ball triangle picking is the selection of triples of points (corresponding to vertices of a general triangle) randomly placed inside a ball.  random triangles can be picked in a unit ball in the Wolfram Language using the function RandomPoint[Ball[], {" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline2.gif" style="height:15px; width:5px" />n, 3}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline3.gif" style="height:15px; width:5px" />].

The distribution of areas of a triangle with vertices picked at random in a unit ball is illustrated above. The mean triangle area is

(1)

(Buchta and Müller 1984, Finch 2010).

 random triangles can be picked in a unit ball in the Wolfram Language using the function RandomPoint[Ball[], {" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline5.gif" style="height:15px; width:5px" />n, 3}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/Inline6.gif" style="height:15px; width:5px" />].

The determination of the probability for obtaining an acute triangle by picking three points at random in the unit disk was generalized by Hall (1982) to the -dimensional ball. Buchta (1986) subsequently gave closed form evaluations for Hall's integrals. Let  be the probability that three points chosen independently and uniformly from the -ball form an acute triangle, then

	(2)
	(3)

These can be combined and written in the slightly messy closed form

{2^(2n-5)(n-1)[Gamma(1/2n)]^4[n_3F^~_2(1,n+1,1/2n+1;1/2(n+3),3/2n+1;1)-2_3F^~_2(1,n,1/2n+1;3/2n,1/2(n+3);1)] -(sqrt(pi)Gamma(2n))/(4^nGamma(3/2n)Gamma(1/2(n+1)))+1}, " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/BallTrianglePicking/NumberedEquation2.gif" style="height:109px; width:493px" />

(4)

where  is a regularized hypergeometric function.

The first few are

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(OEIS A093756 and A093757, OEIS A093758 and A093759, and OEIS A093760 and A093761), plotted above.

The case  corresponds to disk triangle picking.

REFERENCES:

Buchta, C. "A Note on the Volume of a Random Polytope in a Tetrahedron." Ill. J. Math. 30, 653-659, 1986.

Buchta, C. and Müller, J. "Random Polytopes in a Ball." J. Appl. Prob. 21, 753-762, 1984.

Finch, S. "Random Triangles III." http://algo.inria.fr/csolve/rtg3.pdf. Apr. 30, 2010.

Hall, G. R. "Acute Triangles in the -Ball." J. Appl. Prob. 19, 712-715, 1982.

Sloane, N. J. A. Sequences A093756, A093757, A093758, A093759, A093760, and A093761 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عباس.. طفل فقد والده فوجد في خدمة زائري عاشوراء وطنًا آمنًا

شعبة الخطابة النسوية تواصل إقامة مجالس العزاء في شهر المحرم الحرام

لليوم الخامس.. العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقيم مجلس عزاء حسيني في العاصمة التنزانية دار السلام

المزيد

الآخبار الصحية

لمن تجاوز الستين.. عليك بشرب 4 أكواب من القهوة يوميا ؟

الحليب مع العسل.. مزيج يمنحك 7 فوائد صحية

لا تبالغ في التنظيف.. قليل من "الاتساخ" قد يحمي عائلتك

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

المزيد