Somos's quadratic recurrence constant is defined via the sequence

(1)

with . This has closed-form solution

(2)

where  is a polylogarithm,  is a Lerch transcendent. The first few terms are 1, 2, 12, 576, 1658880, 16511297126400, ... (OEIS A052129). The terms of this sequence have asymptotic growth as

(3)

(OEIS A116603; Finch 2003, p. 446,  term corrected), where  is known as Somos's quadratic recurrence constant. Here, the generating function  in  satisfies the functional equation

(4)

Expressions for  include

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

(OEIS A112302; Ramanujan 2000, p. 348; Finch 2003, p. 446; Guillera and Sondow 2005).

Expressions for  include

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

(OEIS A114124; Finch 2003, p. 446; Guillera and Sondow 2005; J. Borwein, pers. comm., Feb. 6, 2005), where  is a polylogarithm.

 is also given by the unit square integral

			(15)
			(16)

(Guillera and Sondow 2005).

Ramanujan (1911; 2000, p. 323) proposed finding the nested radical expression

(17)

which converges to 3. Vijayaraghavan (in Ramanujan 2000, p. 348) gives the justification of his process both in general, and in the particular example of .

REFERENCES:

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch's Transcendent." 16 June 2005 https://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.

Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.

Sloane, N. J. A. Sequences A052129, A112302, A114124, and A116603 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Somos, M. "Several Constants Related to Quadratic Recurrences." Unpublished note. 1999.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يستعرض أعماله للمشاركين في البرنامج المركزي الأسبوعي

جامعة الكفيل تنظم حملة للتبرع بالدم للأطفال المصابين بالثلاسيميا والأورام السرطانية

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 55 من مجلة العميد المحكمة

المجمع العلمي يجري اختبار القبول للمتقدمين إلى دورة ربيع القرآن في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد