The first example discovered of a map from a higher-dimensional sphere to a lower-dimensional sphere which is not null-homotopic. Its discovery was a shock to the mathematical community, since it was believed at the time that all such maps were null-homotopic, by analogy with homology groups.

The Hopf map  arises in many contexts, and can be generalized to a map . For any point  in the sphere, its preimage  is a circle  in . There are several descriptions of the Hopf map, also called the Hopf fibration.

As a submanifold of , the 3-sphere is

{(X_1,X_2,X_3,X_4):X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2=1}, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/HopfMap/NumberedEquation1.gif" style="height:21px; width:284px" />

(1)

and the 2-sphere is a submanifold of ,

{(x_1,x_2,x_3):x_1^2+x_2^2+x_3^2=1}. " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/HopfMap/NumberedEquation2.gif" style="height:21px; width:211px" />

(2)

The Hopf map takes points (, , , ) on a 3-sphere to points on a 2-sphere (, , )

			(3)
			(4)
			(5)

Every point on the 2-sphere corresponds to a circle called the Hopf circle on the 3-sphere.

By stereographic projection, the 3-sphere can be mapped to , where the point at infinity corresponds to the north pole. As a map, from , the Hopf map can be pretty complicated. The diagram above shows some of the preimages , called Hopf circles. The straight red line is the circle through infinity.

By associating  with , the map is given by , which gives the map to the Riemann sphere.

The Hopf fibration is a fibration

(6)

and is in fact a principal bundle. The associated vector bundle

(7)

where

(8)

is a complex line bundle on . In fact, the set of line bundles on the sphere forms a group under vector bundle tensor product, and the bundle  generates all of them. That is, every line bundle on the sphere is  for some .

The sphere  is the Lie group of unit quaternions, and can be identified with the special unitary group , which is the simply connected double cover of . The Hopf bundle is the quotient map .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد