إرجاع التمثيلات 

من الممكن أن نرتب التوابع كحدود لاتمثيلات غير القابلة لإرجاع المشكلة لزمرة تحويلات التناظر لمجموعة. وهذا تعميم لتماثل التوابع وحتى الان لم يتم كيف نحدد التمثيلات غير القابلة للإرجاع القائمة على تابع إختياري .

رتبنا التوابع فردية أو زوجية وذلك عندما نعوض بـ x- وأي تابع عندئذ يقسم الى تابع فردي وتابع زوجي .

ولنبحث عن التحليل المشابه في الحالة العامة:

إذ ان لدينا مجموعة من التوابع تحول لشكل زمرة عناصرها تمثيلات (R) D فسؤالنا هو لتحديد كيفية إرجاع زمرة التمثيلات أو تمثيل الزمرة في الشكل القطري ، والتحويلة التي تؤدي هذا الغرض هي تحويلة التشابه ( المشابهة ) وقد رأينا بأن هذه تجعل أثر التمثيلات لامتغير .. إلا أن خواص العملية سيكون نفسه بعد التقطير (جعل المصفوفة قطرية) كما كان قبل ذلك ، وبهذا يمكن أن نكتب، كمجموع لخواص التمثيلات غير القابلة للأرجاع التي نبحث عن إرجاعها أي:

..........(1)

a_i هي معاملات لخواص التمثيل غير القابلة للإرجاع الذي نبحث عنه. ويتم الحصول عليها بسهولة باستخدام علاقة التعامد للخواص: لنضرب طرفي العلاقة (1) بحد ^*(R)χⁱ وبالجمع على كل عناصر الزمرة ككل:

وبالتالي فإن a_i تعطى ب:

يمكن أن تعبر هذه القاعدة عن جمع على الصفوف وتطبق غالباً بالبحث. في الزمرة C_3v تكون الخواص للصفوف الثلاث 3.1.0 على الترتيب E. σ . C₃.